SEJARAH KALKULUS
A. DEFINISI KALKULUS
Kalkulus ( bahasa Latin , kalkulus , batu kecil yang digunakan untuk menghitung) adalah cabang matematika terfokus pada batas , fungsi , turunan , integral , dan deret tak hingga . Mata kuliah ini merupakan bagian utama modern pendidikan matematika . Ini memiliki dua cabang utama, diferensial kalkulus dan integral kalkulus , yang berhubungan dengan teorema fundamental kalkulus . Kalkulus adalah studi tentang perubahan, dengan cara yang sama bahwa geometri adalah studi tentang bentuk dan aljabar adalah studi tentang operasi dan aplikasi mereka untuk memecahkan persamaan. Sebuah kursus dalam kalkulus adalah pintu gerbang ke lain, kursus lebih maju dalam matematika dikhususkan untuk mempelajari fungsi dan batas, luas disebut analisis matematis . Kalkulus memiliki aplikasi luas dalam ilmu pengetahuan , ekonomi , dan rekayasa dan dapat memecahkan banyak masalah yang aljabar saja tidak cukup.
Secara historis, kalkulus disebut "kalkulus infinitesimals ", atau" kalkulus ". Lebih umum, kalkulus (kalkuli jamak) mengacu pada metode atau sistem perhitungan dipandu oleh manipulasi simbolis ekspresi. Beberapa contoh terkenal lainnya kalkuli adalah kalkulus proposisional , kalkulus variasional , kalkulus lambda , pi kalkulus , dan bergabung kalkulus .
B. SEJARAH KALKULUS
ZAMAN KUNO
Isaac Newton mengembangkan penggunaan kalkulus dalam bukunya hukum gerak dan gravitasi Periode kuno memperkenalkan beberapa ide yang menyebabkan terpisahkan kalkulus, tetapi tampaknya tidak telah mengembangkan ide-ide ini dengan cara yang ketat dan sistematis. Perhitungan volume dan daerah, salah satu tujuan dari integral kalkulus, dapat ditemukan di Mesir Moskow papirus (c. 1820 SM), tetapi formula instruksi belaka, dengan indikasi untuk metode, dan beberapa dari mereka salah. Sejak usia matematika Yunani , Eudoxus (sekitar 408-355 SM) menggunakan metode kelelahan , yang prefigures konsep batas, untuk menghitung luas dan volume, sementara Archimedes (± 287-212 SM) mengembangkan gagasan ini lebih jauh , menciptakan heuristik yang menyerupai metode kalkulus integral. Para metode kelelahan kemudian diciptakan kembali di Cina oleh Liu Hui pada abad ke-3 untuk menemukan luas lingkaran. Pada abad ke-5 , Zu Chongzhi membentuk metode yang kemudian akan disebut prinsip Cavalieri 's untuk mencari volume sebuah bola .
PADA ABAD PERTENGAHAN
Dalam matematika abad ke-14 India Madhava dari Sangamagrama dan sekolah Kerala astronomi dan matematika menyatakan banyak komponen kalkulus seperti deret Taylor , terbatas seri perkiraan, sebuah uji integral untuk konvergensi , bentuk awal diferensiasi, Istilah integrasi dengan istilah, metode iteratif untuk solusi non-linear persamaan, dan teori bahwa area di bawah kurva adalah integralnya. Beberapa mempertimbangkan Yuktibhāṣā sebagai teks pertama pada kalkulus.
PADA MASA MODERN
Di Eropa, karya mendasar adalah sebuah risalah karena Bonaventura Cavalieri , yang berpendapat bahwa volume dan daerah harus dihitung sebagai jumlah dari volume dan bidang amat sangat tipis lintas-bagian. Ide-ide serupa dengan 'Archimedes di Cara ini , tetapi risalah ini telah hilang hingga bagian awal abad kedua puluh. Kerja Cavalieri 's tidak dihormati karena metodenya dapat menyebabkan hasil yang salah, dan jumlah yang sangat kecil dia memperkenalkan yang jelek pada awalnya.
Studi formal kalkulus dikombinasikan infinitesimals Cavalieri 's dengan kalkulus terbatas dari perbedaan dikembangkan di Eropa pada sekitar waktu yang sama. Pierre de Fermat , mengklaim bahwa dia dipinjam dari Diophantus , memperkenalkan konsep adequality , yang diwakili kesetaraan hingga jangka kesalahan sangat kecil. kombinasi ini dicapai oleh John Wallis , Isaac Barrow , dan James Gregory , dua terakhir membuktikan teorema dasar kalkulus kedua sekitar 1675.
Para aturan produk dan aturan rantai , gagasan derivatif lebih tinggi , deret Taylor , dan fungsi analitis diperkenalkan oleh Isaac Newton dalam notasi istimewa yang digunakan untuk memecahkan masalah matematika fisika . Dalam publikasi, Newton diulang ide-idenya sesuai dengan idiom matematika dari waktu, menggantikan perhitungan dengan infinitesimals oleh argumen geometris setara yang dianggap tercela. Dia menggunakan metode kalkulus untuk memecahkan masalah gerak planet, bentuk permukaan cairan berputar, oblateness bumi, gerakan berat geser pada cycloid , dan banyak masalah lain yang dibahas dalam bukunya Principia Mathematica ( 1687). Dalam pekerjaan lain, ia mengembangkan ekspansi seri untuk fungsi, termasuk kekuatan fraksional dan irasional, dan jelas bahwa ia memahami prinsip-prinsip dari deret Taylor . Dia tidak mempublikasikan semua penemuan ini, dan saat ini metode yang sangat kecil masih dianggap jelek.
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah orang pertama yang mempublikasikan hasilnya pada pengembangan kalkulus.
Ide-ide ini adalah sistematis ke dalam kalkulus sejati infinitesimals oleh Gottfried Wilhelm Leibniz , yang pada awalnya dituduh plagiarisme oleh Newton. Dia sekarang dianggap sebagai penemu independen dan kontributor kalkulus. Nya kontribusi adalah untuk menyediakan sebuah set aturan untuk memanipulasi jumlah yang sangat kecil, memungkinkan perhitungan turunan kedua dan lebih tinggi, dan menyediakan aturan produk dan aturan rantai , dalam diferensial dan bentuk integral. Tidak seperti Newton, Leibniz membayar banyak perhatian pada formalisme, sering menghabiskan hari-hari menentukan simbol-simbol yang sesuai untuk konsep.
Leibniz dan Newton biasanya baik dikreditkan dengan penemuan kalkulus. Newton adalah yang pertama menerapkan kalkulus untuk umum fisika dan Leibniz mengembangkan banyak notasi yang digunakan dalam kalkulus hari ini. Wawasan dasar yang baik Newton dan Leibniz diberikan adalah hukum diferensiasi dan integrasi, kedua dan turunan yang lebih tinggi, dan gagasan dari seri polinomial aproksimasi. Saat Newton, teorema dasar kalkulus dikenal.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka pertama, ada kontroversi besar di mana matematika (dan karena itu negara mana) kredit layak. Newton berasal hasilnya pertama, tetapi Leibniz dipublikasikan pertama. Newton mengklaim Leibniz mencuri ide dari catatan yang tidak dipublikasikan, yang Newton telah dibagi dengan beberapa anggota dari Royal Society . Kontroversi ini dibagi berbahasa Inggris ahli matematika dari matematikawan benua selama bertahun-tahun, sehingga merugikan matematika Inggris. Pemeriksaan yang seksama atas karya-karya dari Leibniz dan Newton menunjukkan bahwa mereka tiba di hasil mereka secara independen, dengan Leibniz memulai pertama dengan integrasi dan Newton dengan diferensiasi. Saat ini, baik Newton dan Leibniz diberikan kredit untuk mengembangkan kalkulus secara independen. Ini adalah Leibniz, namun, yang memberikan disiplin baru namanya. Newton disebut kalkulus " ilmu fluxions ".
Sejak saat Leibniz dan Newton, banyak yang hebat matematika telah memberi kontribusi pada pembangunan berkelanjutan kalkulus. Salah satu karya pertama dan paling lengkap pada analisis yang terbatas dan sangat kecil ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi .
C. MACAM-MACAM KALKULUS
DIFERENSIAL KALKULUS
Garis singgung pada (x, f (x)). F turunan '(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan (naik lebih dari menjalankan) garis singgung dengan kurva pada titik tersebut.
Diferensial kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan dari suatu fungsi. Proses untuk menemukan turunan disebut diferensiasi. Mengingat fungsi dan titik dalam domain, turunan pada titik itu adalah cara pengkodean perilaku skala kecil fungsi di dekat titik itu. Dengan menemukan turunan dari fungsi pada setiap titik dalam domainnya, adalah mungkin untuk menghasilkan fungsi baru, yang disebut fungsi turunan atau hanya turunan dari fungsi asli. Dalam jargon matematika, derivatif adalah operator linear yang input dan output fungsi fungsi kedua. Ini lebih abstrak dari banyak proses dipelajari dalam aljabar dasar, di mana fungsi biasanya masukan angka dan output nomor lain. Sebagai contoh, jika fungsi penggandaan diberi masukan tiga, maka itu output, dan enam jika fungsi mengkuadratkan diberi masukan tiga, maka itu output sembilan. Derivatif, bagaimanapun, dapat mengambil fungsi mengkuadratkan sebagai masukan. Ini berarti bahwa derivatif mengambil semua informasi dari mengkuadratkan fungsi seperti bahwa dua dikirim ke empat, tiga dikirim ke sembilan, empat dikirim ke enam belas, dan sebagainya-dan menggunakan informasi ini untuk menghasilkan fungsi lain. (Fungsi ini menghasilkan ternyata menjadi fungsi penggandaan.)
Simbol yang paling umum untuk derivatif adalah suatu tanda apostrof seperti disebut prima . Dengan demikian, turunan dari fungsi f adalah f ', diucapkan "f prima." Misalnya, jika f (x) = x 2 adalah fungsi mengkuadratkan, maka f '(x) = 2 x adalah turunannya, fungsi penggandaan.
Jika input merupakan fungsi waktu, maka turunan yang mewakili perubahan yang berkenaan dengan waktu. Misalnya, jika f adalah fungsi yang mengambil waktu sebagai input dan memberikan posisi bola pada waktu itu sebagai output, maka turunan dari f adalah bagaimana posisi berubah dalam waktu, yaitu, itu adalah kecepatan dari bola.
Jika suatu fungsi linear (yaitu, jika grafik fungsi adalah garis lurus), maka fungsi tersebut dapat ditulis sebagai y = mx + b, di mana x adalah variabel independen, y adalah variabel dependen, b adalah y-intercept, dan:
Hal ini memberikan nilai yang pasti untuk kemiringan garis lurus. Jika grafik fungsi bukanlah garis lurus, bagaimanapun, maka perubahan y dibagi dengan perubahan x bervariasi. Derivatif memberikan makna yang tepat dengan gagasan perubahan output terhadap perubahan input. Agar konkret, marilah f fungsi, dan memperbaiki titik dalam domain dari f. (A, f (a)) adalah titik pada grafik fungsi. Jika h adalah angka mendekati nol, maka h + adalah angka yang dekat dengan. Oleh karena itu (a + h, f (a + h)) dekat dengan (a, f (a)). Kemiringan antara dua titik adalah
Ungkapan ini disebut hasil bagi perbedaan. Sebuah garis melalui dua titik pada kurva disebut garis garis potong, sehingga m adalah kemiringan garis garis potong antara (a, f (a)) dan (a + h, f (a + h)). Garis garis potong hanya perkiraan dengan perilaku fungsi tersebut pada titik karena itu tidak menjelaskan apa yang terjadi antara a dan h +. Hal ini tidak mungkin untuk menemukan perilaku dengan dengan mengatur jam ke nol karena ini akan memerlukan membagi dengan nol, yang tidak mungkin. Derivatif didefinisikan dengan mengambil batas sebagai h cenderung nol, yang berarti bahwa ia menganggap perilaku f untuk semua nilai kecil h dan ekstrak nilai konsisten untuk kasus ketika h sama dengan nol:
Secara geometris, derivatif adalah kemiringan dari garis singgung pada grafik f pada. Garis singgung batas garis garis potong seperti derivatif adalah batas quotients perbedaan. Untuk alasan ini, derivatif kadang-kadang disebut kemiringan fungsi f.
Berikut ini adalah contoh khusus ini, turunan dari fungsi mengkuadratkan di input 3. Misalkan f (x) = x 2 menjadi fungsi mengkuadratkan.
F turunan '(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva yang pada saat itu. Kemiringan ini ditentukan dengan mempertimbangkan nilai limit dari lereng garis garis potong. Di sini fungsi yang terlibat (ditarik merah) adalah f (x) = x 3 - x. Garis singgung (dalam hijau) yang melalui titik (-3 / 2, -15 / 8) memiliki kemiringan 23/4. Perhatikan bahwa skala vertikal dan horisontal dalam gambar ini berbeda.
Kemiringan garis singgung fungsi mengkuadratkan pada titik (3,9) adalah 6, artinya, ia akan naik enam kali lebih cepat seperti yang akan ke kanan. Proses batas yang baru saja dijelaskan dapat dilakukan untuk setiap titik dalam domain fungsi mengkuadratkan. Ini mendefinisikan fungsi turunan dari fungsi mengkuadratkan, atau hanya turunan dari fungsi mengkuadratkan untuk pendek. Sebuah perhitungan yang mirip dengan yang di atas menunjukkan bahwa turunan dari fungsi mengkuadratkan adalah fungsi penggandaan.
INTEGRAL KALKULUS
Integral kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep terkait, integral tak tentu dan integral tertentu. Proses menemukan nilai terpisahkan itu disebut integrasi. Dalam bahasa teknis, kalkulus integral mempelajari dua terkait operator linear .
Integral tak tentu adalah antiturunan , operasi terbalik dengan derivatif. F adalah integral tak tentu dari f ketika f adalah turunan dari F. (Ini penggunaan huruf besar dan huruf kecil untuk fungsi dan integral tak tentu adalah umum dalam kalkulus.)
Masukan integral tertentu fungsi dan output sebuah angka, yang memberikan daerah antara grafik input dan sumbu x . Definisi teknis dari integral tertentu adalah batas dari sejumlah bidang persegi panjang, yang disebut penjumlahan Riemann .
Sebuah contoh yang memotivasi adalah jarak perjalanan dalam waktu tertentu.
Jika kecepatan adalah konstan, perkalian hanya diperlukan, tetapi jika perubahan kecepatan, maka kita perlu metode yang lebih kuat untuk menemukan kejauhan. Salah satu metode tersebut adalah untuk perkiraan jarak yang ditempuh oleh putus waktu ke interval pendek banyak waktu, kemudian mengalikan waktu yang telah berlalu di masing-masing interval dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian mengambil jumlah (a jumlah Riemann ) dari perkiraan jarak tempuh pada setiap interval. Ide dasarnya adalah bahwa jika hanya berlalu waktu singkat, maka kecepatan akan tetap kurang lebih sama. Namun, jumlah Riemann hanya memberikan perkiraan jarak yang ditempuh. Kita harus mengambil batas semua jumlah Riemann seperti untuk menemukan jarak yang tepat bepergian.
Integrasi dapat dianggap sebagai tolok area di bawah kurva, didefinisikan oleh f (x), antara dua titik (di sini a dan b).
Jika f (x) pada diagram di sebelah kiri mewakili kecepatan seperti itu bervariasi dari waktu ke waktu, jarak yang ditempuh (antara waktu diwakili oleh a dan b) adalah luas daerah yang diarsir s.
Untuk perkiraan bahwa area, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antara a dan b menjadi beberapa segmen yang sama, panjang setiap segmen diwakili oleh Ax simbol. Untuk setiap segmen kecil, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f (x). Call bahwa h nilai. Maka luas persegi panjang dengan basis Ax dan tinggi h memberikan jarak (waktu Ax dikalikan dengan kecepatan h) perjalanan di segmen itu. Terkait dengan setiap segmen adalah nilai rata-rata dari fungsi di atas itu, f (x) = h. Jumlah dari semua persegi panjang seperti memberikan perkiraan daerah antara sumbu dan kurva, yang merupakan perkiraan dari total jarak yang ditempuh. Sebuah nilai yang lebih kecil untuk Ax akan memberikan persegi panjang lebih dan dalam kebanyakan kasus pendekatan yang lebih baik, tapi untuk jawaban yang tepat kita perlu mengambil batas sebagai Ax mendekati nol.
Simbol integrasi adalah , S memanjang (S singkatan dari "jumlah"). Integral tertentu ditulis sebagai:
dan dibaca "integral dari b ke f-of-x terhadap x." Para notasi Leibniz dx dimaksudkan untuk menyarankan membagi area di bawah kurva ke dalam jumlah tak terbatas persegi panjang, sehingga Ax lebar mereka menjadi dx sangat kecil. Dalam formulasi dari kalkulus didasarkan pada batas, notasi
harus dipahami sebagai operator yang mengambil fungsi sebagai masukan dan memberikan nomor, daerah itu, sebagai output; dx bukan angka, dan tidak sedang dikalikan dengan f (x).
Integral tak tentu, atau antiturunan, tertulis:
Fungsi yang berbeda dengan hanya konstan memiliki turunan yang sama, dan oleh karena itu antiturunan dari sebuah fungsi yang diberikan sebenarnya adalah keluarga fungsi yang berbeda hanya dengan suatu konstanta. Karena turunan dari fungsi y = x ² + C, di mana C adalah setiap konstan, adalah y '= 2 x, antiturunan dari yang terakhir diberikan oleh:
Sebuah konstan belum ditentukan seperti C di antiturunan dikenal sebagai konstanta integrasi
D. PENGARUH KALKULUS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat danderet Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret tak terhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
.
A. DEFINISI KALKULUS
Kalkulus ( bahasa Latin , kalkulus , batu kecil yang digunakan untuk menghitung) adalah cabang matematika terfokus pada batas , fungsi , turunan , integral , dan deret tak hingga . Mata kuliah ini merupakan bagian utama modern pendidikan matematika . Ini memiliki dua cabang utama, diferensial kalkulus dan integral kalkulus , yang berhubungan dengan teorema fundamental kalkulus . Kalkulus adalah studi tentang perubahan, dengan cara yang sama bahwa geometri adalah studi tentang bentuk dan aljabar adalah studi tentang operasi dan aplikasi mereka untuk memecahkan persamaan. Sebuah kursus dalam kalkulus adalah pintu gerbang ke lain, kursus lebih maju dalam matematika dikhususkan untuk mempelajari fungsi dan batas, luas disebut analisis matematis . Kalkulus memiliki aplikasi luas dalam ilmu pengetahuan , ekonomi , dan rekayasa dan dapat memecahkan banyak masalah yang aljabar saja tidak cukup.
Secara historis, kalkulus disebut "kalkulus infinitesimals ", atau" kalkulus ". Lebih umum, kalkulus (kalkuli jamak) mengacu pada metode atau sistem perhitungan dipandu oleh manipulasi simbolis ekspresi. Beberapa contoh terkenal lainnya kalkuli adalah kalkulus proposisional , kalkulus variasional , kalkulus lambda , pi kalkulus , dan bergabung kalkulus .
B. SEJARAH KALKULUS
ZAMAN KUNO
Isaac Newton mengembangkan penggunaan kalkulus dalam bukunya hukum gerak dan gravitasi Periode kuno memperkenalkan beberapa ide yang menyebabkan terpisahkan kalkulus, tetapi tampaknya tidak telah mengembangkan ide-ide ini dengan cara yang ketat dan sistematis. Perhitungan volume dan daerah, salah satu tujuan dari integral kalkulus, dapat ditemukan di Mesir Moskow papirus (c. 1820 SM), tetapi formula instruksi belaka, dengan indikasi untuk metode, dan beberapa dari mereka salah. Sejak usia matematika Yunani , Eudoxus (sekitar 408-355 SM) menggunakan metode kelelahan , yang prefigures konsep batas, untuk menghitung luas dan volume, sementara Archimedes (± 287-212 SM) mengembangkan gagasan ini lebih jauh , menciptakan heuristik yang menyerupai metode kalkulus integral. Para metode kelelahan kemudian diciptakan kembali di Cina oleh Liu Hui pada abad ke-3 untuk menemukan luas lingkaran. Pada abad ke-5 , Zu Chongzhi membentuk metode yang kemudian akan disebut prinsip Cavalieri 's untuk mencari volume sebuah bola .
PADA ABAD PERTENGAHAN
Dalam matematika abad ke-14 India Madhava dari Sangamagrama dan sekolah Kerala astronomi dan matematika menyatakan banyak komponen kalkulus seperti deret Taylor , terbatas seri perkiraan, sebuah uji integral untuk konvergensi , bentuk awal diferensiasi, Istilah integrasi dengan istilah, metode iteratif untuk solusi non-linear persamaan, dan teori bahwa area di bawah kurva adalah integralnya. Beberapa mempertimbangkan Yuktibhāṣā sebagai teks pertama pada kalkulus.
PADA MASA MODERN
Di Eropa, karya mendasar adalah sebuah risalah karena Bonaventura Cavalieri , yang berpendapat bahwa volume dan daerah harus dihitung sebagai jumlah dari volume dan bidang amat sangat tipis lintas-bagian. Ide-ide serupa dengan 'Archimedes di Cara ini , tetapi risalah ini telah hilang hingga bagian awal abad kedua puluh. Kerja Cavalieri 's tidak dihormati karena metodenya dapat menyebabkan hasil yang salah, dan jumlah yang sangat kecil dia memperkenalkan yang jelek pada awalnya.
Studi formal kalkulus dikombinasikan infinitesimals Cavalieri 's dengan kalkulus terbatas dari perbedaan dikembangkan di Eropa pada sekitar waktu yang sama. Pierre de Fermat , mengklaim bahwa dia dipinjam dari Diophantus , memperkenalkan konsep adequality , yang diwakili kesetaraan hingga jangka kesalahan sangat kecil. kombinasi ini dicapai oleh John Wallis , Isaac Barrow , dan James Gregory , dua terakhir membuktikan teorema dasar kalkulus kedua sekitar 1675.
Para aturan produk dan aturan rantai , gagasan derivatif lebih tinggi , deret Taylor , dan fungsi analitis diperkenalkan oleh Isaac Newton dalam notasi istimewa yang digunakan untuk memecahkan masalah matematika fisika . Dalam publikasi, Newton diulang ide-idenya sesuai dengan idiom matematika dari waktu, menggantikan perhitungan dengan infinitesimals oleh argumen geometris setara yang dianggap tercela. Dia menggunakan metode kalkulus untuk memecahkan masalah gerak planet, bentuk permukaan cairan berputar, oblateness bumi, gerakan berat geser pada cycloid , dan banyak masalah lain yang dibahas dalam bukunya Principia Mathematica ( 1687). Dalam pekerjaan lain, ia mengembangkan ekspansi seri untuk fungsi, termasuk kekuatan fraksional dan irasional, dan jelas bahwa ia memahami prinsip-prinsip dari deret Taylor . Dia tidak mempublikasikan semua penemuan ini, dan saat ini metode yang sangat kecil masih dianggap jelek.
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah orang pertama yang mempublikasikan hasilnya pada pengembangan kalkulus.
Ide-ide ini adalah sistematis ke dalam kalkulus sejati infinitesimals oleh Gottfried Wilhelm Leibniz , yang pada awalnya dituduh plagiarisme oleh Newton. Dia sekarang dianggap sebagai penemu independen dan kontributor kalkulus. Nya kontribusi adalah untuk menyediakan sebuah set aturan untuk memanipulasi jumlah yang sangat kecil, memungkinkan perhitungan turunan kedua dan lebih tinggi, dan menyediakan aturan produk dan aturan rantai , dalam diferensial dan bentuk integral. Tidak seperti Newton, Leibniz membayar banyak perhatian pada formalisme, sering menghabiskan hari-hari menentukan simbol-simbol yang sesuai untuk konsep.
Leibniz dan Newton biasanya baik dikreditkan dengan penemuan kalkulus. Newton adalah yang pertama menerapkan kalkulus untuk umum fisika dan Leibniz mengembangkan banyak notasi yang digunakan dalam kalkulus hari ini. Wawasan dasar yang baik Newton dan Leibniz diberikan adalah hukum diferensiasi dan integrasi, kedua dan turunan yang lebih tinggi, dan gagasan dari seri polinomial aproksimasi. Saat Newton, teorema dasar kalkulus dikenal.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka pertama, ada kontroversi besar di mana matematika (dan karena itu negara mana) kredit layak. Newton berasal hasilnya pertama, tetapi Leibniz dipublikasikan pertama. Newton mengklaim Leibniz mencuri ide dari catatan yang tidak dipublikasikan, yang Newton telah dibagi dengan beberapa anggota dari Royal Society . Kontroversi ini dibagi berbahasa Inggris ahli matematika dari matematikawan benua selama bertahun-tahun, sehingga merugikan matematika Inggris. Pemeriksaan yang seksama atas karya-karya dari Leibniz dan Newton menunjukkan bahwa mereka tiba di hasil mereka secara independen, dengan Leibniz memulai pertama dengan integrasi dan Newton dengan diferensiasi. Saat ini, baik Newton dan Leibniz diberikan kredit untuk mengembangkan kalkulus secara independen. Ini adalah Leibniz, namun, yang memberikan disiplin baru namanya. Newton disebut kalkulus " ilmu fluxions ".
Sejak saat Leibniz dan Newton, banyak yang hebat matematika telah memberi kontribusi pada pembangunan berkelanjutan kalkulus. Salah satu karya pertama dan paling lengkap pada analisis yang terbatas dan sangat kecil ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi .
C. MACAM-MACAM KALKULUS
DIFERENSIAL KALKULUS
Garis singgung pada (x, f (x)). F turunan '(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan (naik lebih dari menjalankan) garis singgung dengan kurva pada titik tersebut.
Diferensial kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan dari suatu fungsi. Proses untuk menemukan turunan disebut diferensiasi. Mengingat fungsi dan titik dalam domain, turunan pada titik itu adalah cara pengkodean perilaku skala kecil fungsi di dekat titik itu. Dengan menemukan turunan dari fungsi pada setiap titik dalam domainnya, adalah mungkin untuk menghasilkan fungsi baru, yang disebut fungsi turunan atau hanya turunan dari fungsi asli. Dalam jargon matematika, derivatif adalah operator linear yang input dan output fungsi fungsi kedua. Ini lebih abstrak dari banyak proses dipelajari dalam aljabar dasar, di mana fungsi biasanya masukan angka dan output nomor lain. Sebagai contoh, jika fungsi penggandaan diberi masukan tiga, maka itu output, dan enam jika fungsi mengkuadratkan diberi masukan tiga, maka itu output sembilan. Derivatif, bagaimanapun, dapat mengambil fungsi mengkuadratkan sebagai masukan. Ini berarti bahwa derivatif mengambil semua informasi dari mengkuadratkan fungsi seperti bahwa dua dikirim ke empat, tiga dikirim ke sembilan, empat dikirim ke enam belas, dan sebagainya-dan menggunakan informasi ini untuk menghasilkan fungsi lain. (Fungsi ini menghasilkan ternyata menjadi fungsi penggandaan.)
Simbol yang paling umum untuk derivatif adalah suatu tanda apostrof seperti disebut prima . Dengan demikian, turunan dari fungsi f adalah f ', diucapkan "f prima." Misalnya, jika f (x) = x 2 adalah fungsi mengkuadratkan, maka f '(x) = 2 x adalah turunannya, fungsi penggandaan.
Jika input merupakan fungsi waktu, maka turunan yang mewakili perubahan yang berkenaan dengan waktu. Misalnya, jika f adalah fungsi yang mengambil waktu sebagai input dan memberikan posisi bola pada waktu itu sebagai output, maka turunan dari f adalah bagaimana posisi berubah dalam waktu, yaitu, itu adalah kecepatan dari bola.
Jika suatu fungsi linear (yaitu, jika grafik fungsi adalah garis lurus), maka fungsi tersebut dapat ditulis sebagai y = mx + b, di mana x adalah variabel independen, y adalah variabel dependen, b adalah y-intercept, dan:
Hal ini memberikan nilai yang pasti untuk kemiringan garis lurus. Jika grafik fungsi bukanlah garis lurus, bagaimanapun, maka perubahan y dibagi dengan perubahan x bervariasi. Derivatif memberikan makna yang tepat dengan gagasan perubahan output terhadap perubahan input. Agar konkret, marilah f fungsi, dan memperbaiki titik dalam domain dari f. (A, f (a)) adalah titik pada grafik fungsi. Jika h adalah angka mendekati nol, maka h + adalah angka yang dekat dengan. Oleh karena itu (a + h, f (a + h)) dekat dengan (a, f (a)). Kemiringan antara dua titik adalah
Ungkapan ini disebut hasil bagi perbedaan. Sebuah garis melalui dua titik pada kurva disebut garis garis potong, sehingga m adalah kemiringan garis garis potong antara (a, f (a)) dan (a + h, f (a + h)). Garis garis potong hanya perkiraan dengan perilaku fungsi tersebut pada titik karena itu tidak menjelaskan apa yang terjadi antara a dan h +. Hal ini tidak mungkin untuk menemukan perilaku dengan dengan mengatur jam ke nol karena ini akan memerlukan membagi dengan nol, yang tidak mungkin. Derivatif didefinisikan dengan mengambil batas sebagai h cenderung nol, yang berarti bahwa ia menganggap perilaku f untuk semua nilai kecil h dan ekstrak nilai konsisten untuk kasus ketika h sama dengan nol:
Secara geometris, derivatif adalah kemiringan dari garis singgung pada grafik f pada. Garis singgung batas garis garis potong seperti derivatif adalah batas quotients perbedaan. Untuk alasan ini, derivatif kadang-kadang disebut kemiringan fungsi f.
Berikut ini adalah contoh khusus ini, turunan dari fungsi mengkuadratkan di input 3. Misalkan f (x) = x 2 menjadi fungsi mengkuadratkan.
F turunan '(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva yang pada saat itu. Kemiringan ini ditentukan dengan mempertimbangkan nilai limit dari lereng garis garis potong. Di sini fungsi yang terlibat (ditarik merah) adalah f (x) = x 3 - x. Garis singgung (dalam hijau) yang melalui titik (-3 / 2, -15 / 8) memiliki kemiringan 23/4. Perhatikan bahwa skala vertikal dan horisontal dalam gambar ini berbeda.
Kemiringan garis singgung fungsi mengkuadratkan pada titik (3,9) adalah 6, artinya, ia akan naik enam kali lebih cepat seperti yang akan ke kanan. Proses batas yang baru saja dijelaskan dapat dilakukan untuk setiap titik dalam domain fungsi mengkuadratkan. Ini mendefinisikan fungsi turunan dari fungsi mengkuadratkan, atau hanya turunan dari fungsi mengkuadratkan untuk pendek. Sebuah perhitungan yang mirip dengan yang di atas menunjukkan bahwa turunan dari fungsi mengkuadratkan adalah fungsi penggandaan.
INTEGRAL KALKULUS
Integral kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep terkait, integral tak tentu dan integral tertentu. Proses menemukan nilai terpisahkan itu disebut integrasi. Dalam bahasa teknis, kalkulus integral mempelajari dua terkait operator linear .
Integral tak tentu adalah antiturunan , operasi terbalik dengan derivatif. F adalah integral tak tentu dari f ketika f adalah turunan dari F. (Ini penggunaan huruf besar dan huruf kecil untuk fungsi dan integral tak tentu adalah umum dalam kalkulus.)
Masukan integral tertentu fungsi dan output sebuah angka, yang memberikan daerah antara grafik input dan sumbu x . Definisi teknis dari integral tertentu adalah batas dari sejumlah bidang persegi panjang, yang disebut penjumlahan Riemann .
Sebuah contoh yang memotivasi adalah jarak perjalanan dalam waktu tertentu.
Jika kecepatan adalah konstan, perkalian hanya diperlukan, tetapi jika perubahan kecepatan, maka kita perlu metode yang lebih kuat untuk menemukan kejauhan. Salah satu metode tersebut adalah untuk perkiraan jarak yang ditempuh oleh putus waktu ke interval pendek banyak waktu, kemudian mengalikan waktu yang telah berlalu di masing-masing interval dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian mengambil jumlah (a jumlah Riemann ) dari perkiraan jarak tempuh pada setiap interval. Ide dasarnya adalah bahwa jika hanya berlalu waktu singkat, maka kecepatan akan tetap kurang lebih sama. Namun, jumlah Riemann hanya memberikan perkiraan jarak yang ditempuh. Kita harus mengambil batas semua jumlah Riemann seperti untuk menemukan jarak yang tepat bepergian.
Integrasi dapat dianggap sebagai tolok area di bawah kurva, didefinisikan oleh f (x), antara dua titik (di sini a dan b).
Jika f (x) pada diagram di sebelah kiri mewakili kecepatan seperti itu bervariasi dari waktu ke waktu, jarak yang ditempuh (antara waktu diwakili oleh a dan b) adalah luas daerah yang diarsir s.
Untuk perkiraan bahwa area, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antara a dan b menjadi beberapa segmen yang sama, panjang setiap segmen diwakili oleh Ax simbol. Untuk setiap segmen kecil, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f (x). Call bahwa h nilai. Maka luas persegi panjang dengan basis Ax dan tinggi h memberikan jarak (waktu Ax dikalikan dengan kecepatan h) perjalanan di segmen itu. Terkait dengan setiap segmen adalah nilai rata-rata dari fungsi di atas itu, f (x) = h. Jumlah dari semua persegi panjang seperti memberikan perkiraan daerah antara sumbu dan kurva, yang merupakan perkiraan dari total jarak yang ditempuh. Sebuah nilai yang lebih kecil untuk Ax akan memberikan persegi panjang lebih dan dalam kebanyakan kasus pendekatan yang lebih baik, tapi untuk jawaban yang tepat kita perlu mengambil batas sebagai Ax mendekati nol.
Simbol integrasi adalah , S memanjang (S singkatan dari "jumlah"). Integral tertentu ditulis sebagai:
dan dibaca "integral dari b ke f-of-x terhadap x." Para notasi Leibniz dx dimaksudkan untuk menyarankan membagi area di bawah kurva ke dalam jumlah tak terbatas persegi panjang, sehingga Ax lebar mereka menjadi dx sangat kecil. Dalam formulasi dari kalkulus didasarkan pada batas, notasi
harus dipahami sebagai operator yang mengambil fungsi sebagai masukan dan memberikan nomor, daerah itu, sebagai output; dx bukan angka, dan tidak sedang dikalikan dengan f (x).
Integral tak tentu, atau antiturunan, tertulis:
Fungsi yang berbeda dengan hanya konstan memiliki turunan yang sama, dan oleh karena itu antiturunan dari sebuah fungsi yang diberikan sebenarnya adalah keluarga fungsi yang berbeda hanya dengan suatu konstanta. Karena turunan dari fungsi y = x ² + C, di mana C adalah setiap konstan, adalah y '= 2 x, antiturunan dari yang terakhir diberikan oleh:
Sebuah konstan belum ditentukan seperti C di antiturunan dikenal sebagai konstanta integrasi
D. PENGARUH KALKULUS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat danderet Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret tak terhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.
.
